Matemática básica Ejemplos

$3 \cdot 3^{2 y} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Paso 1

Reescribe $3^{2 y}$ como exponenciación.

$3 \cdot {(3^{y})}^{2} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Paso 2

Sustituye $u$ por $3^{y}$ .

$3 \cdot u^{2} - 4 \cdot u = - 1$

Paso 3

Multiplica $- 4$ por $u$ .

$3 u^{2} - 4 u = - 1$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Paso 4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Paso 4.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $- 1$ más $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Paso 4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Paso 4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 4.4

Establece $3 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.4.1

Establece $3 u - 1$ igual a $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $3 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u = 1$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $3 u = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $3 u = 1$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Paso 4.5

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.5.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{3}, 1$

Paso 5

Sustituye $\frac{1}{3}$ por $u$ en $u = 3^{y}$ .

$\frac{1}{3} = 3^{y}$

Paso 6

Resuelve $\frac{1}{3} = 3^{y}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $3^{y} = \frac{1}{3}$ .

$3^{y} = \frac{1}{3}$

Paso 6.2

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{3^{1}}$

Paso 6.3

Mueve $3^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{y} = 3^{- 1}$

Paso 6.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$y = - 1$

Paso 7

Sustituye $1$ por $u$ en $u = 3^{y}$ .

$1 = 3^{y}$

Paso 8

Resuelve $1 = 3^{y}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $3^{y} = 1$ .

$3^{y} = 1$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{y}) = \ln (1)$

Paso 8.3

Expande $\ln (3^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (1)$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$y \ln (3) = 0$

Paso 8.5

Divide cada término en $y \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 8.5.1

Divide cada término en $y \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 8.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 8.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 8.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 8.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (3)$ .

$y = 0$

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$y = - 1, 0$